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DE LA RELATIVTÉ
DU MOUVEMENT
À LA RELATIVITÉ
D'ÉCHELLE
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à propos de :
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La relativité dans tous ses états.
Au-delà de l'espace-temps.
par Laurent NOTTALE
Hachette (Sciences), 1998.
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La théorie
de la relativité n'est pas relativiste ! Ce qu'affirme
en effet le principe de relativité, ce n'est pas que tout est relatif,
comme on l'entend trop souvent dire, mais que les lois de la nature doivent
être valides dans tous les systèmes de référence,
quel que soit leur mouvement (Einstein, 1915). Ce principe qui sous-tend
une recherche d'absolu n'a rien d'étonnant. Il ne fait qu'affirmer
que les lois fondamentales de la nature sont uniques, c'est-à-dire
qu'elles s'appliquent quelle que soit la situation (si ce n'était
pas le cas, elles ne seraient pas des lois fondamentales). Ce principe
n'a rien non plus de proprement novateur, puisque toute la physique s'est
construite en recherchant des invariants (les lois de la nature, certaines
quantités physiques) à travers l'analyse de ce qui est relatif
(la perception des phénomènes). Si ce principe, dans sa formulation
générale, s'avère donc à la fois nécessaire
et évident, son application n'est toutefois pas aisée. Il
faut en effet réussir à formuler les lois de la nature de
telle sorte qu'elles ne soient pas modifiées si on change de système
de référence. Trois grandes étapes ont ainsi été
franchies dans l'histoire de la physique.
À partir
des réflexions de Galilée qui établissaient que le
mouvement et le repos n'avaient aucune existence propre, et que seul avait
un sens le mouvement d'un corps relativement à un autre, put être
énoncé un théorème fondamental pour la physique
moderne : les lois de la nature doivent être les mêmes
dans tous les systèmes de référence en mouvement rectiligne
et uniforme les uns par rapport aux autres (on appelle ces systèmes
de référence des référentiels inertiels).
Avec Einstein et Poincaré (1905), une nouvelle étape fut
franchie. Pour que les lois de l'électromagnétisme puissent
s'accorder avec ce principe et qu'il soit possible de rendre compte de
l'invariance de la vitesse de la lumière (cf. expérience
de Michelson-Morley), ils fondèrent la relativité restreinte,
qui est une théorie où le temps et l'espace ne sont plus
indépendants. Enfin, en 1915, Einstein généralisa
le principe de relativité à tous les systèmes de référence
en mouvement : les lois de la physique ne devaient plus être
les mêmes uniquement dans les référentiels inertiels,
mais aussi pour ceux qui étaient animés d'un mouvement accéléré.
Dans cette théorie -- appelée relativité générale
-- la gravitation n'existe plus en soi, mais devient relative au choix
du système de référence.
A-t-on pour autant
atteint la plus grande généralité dans l'application
du principe de relativité ? Laurent NOTTALE (né
en 1952) pense que non. Depuis quelques années, il tente de l'étendre
à la notion d'échelle. Ainsi, les lois de la nature devraient
aussi être les mêmes pour toutes les échelles. Or, depuis
le début du siècle, on sait que la physique à l'échelle
de l'atome (la mécanique quantique) est très différente
de celle qui concerne les échelles plus grandes. Il y aurait ainsi
comme deux mondes (microscopique et macroscopique) dans lesquels le comportement
des objets, soumis à des lois différentes, ne serait en rien
comparable. Or, Laurent Nottale essaye justement de montrer que les différences
observées ne proviennent pas de lois différentes, mais traduisent
le fait que les mêmes lois se manifestent différemment à
des échelles différentes. Ce travail n'est toutefois pas
encore achevé. Mais s'il aboutit dans les années à
venir à unifier complètement ces différents domaines
physiques, il fera sans conteste date dans l'histoire des sciences. Cette
recherche pointue et ambitieuse mérite donc d'être connue
au-delà du cercle des spécialistes. L'effort de vulgarisation
entrepris par Laurent Nottale lui-même dans ce livre (voir
sommaire) est par conséquent
méritoire. Dans une perspective historique, de Galilée à
ses propres recherches, il nous offre avec une grande clarté sa
vision de la fécondité du principe de relativité et
tente de montrer tout l'intérêt de son extension à
la notion d'échelle. Essayons d'y comprendre quelque chose...
La relativité galiléenne
Il est assez facile
d'illustrer le principe de la relativité galiléenne du mouvement
: enfermé dans un espace clos (cabine d'un bateau, par exemple)
qui avance à vitesse constante par rapport à un référentiel
donné (le rivage), nous pouvons nous comporter (marcher, jongler...)
comme si le bateau était à quai. Les lois de la mécanique
auxquelles nous sommes soumis sont donc les mêmes dans le référentiel
défini par le bateau et dans celui défini par le rivage.
Il suffit en revanche que notre bateau se mette à accélérer
ou à virer pour que nous en éprouvions tout de suite les
effets. Les lois de la mécanique ne sont donc plus identiques à
celles qui existaient quand le bateau était au repos :
il y a apparition de forces d'inertie.
Autre exemple
: un baquet rempli d'eau qui présente une surface plane en
cas de repos ou de mouvement uniforme, verra sa surface s'incurver dès
lors qu'il se mettra à tourner sur lui-même. On peut donc,
apparemment, définir l'immobilité ou la rotation du baquet,
uniquement par la forme de la surface de l'eau. On voit aussi que la différence
entre les référentiels en rotation, ou d'une manière
générale accélérés, et les référentiels
inertiels provient de la nécessité d'appliquer une force
d'inertie aux objets liés aux premiers (pour incurver la surface
de l'eau, par exemple) et non aux objets liés aux seconds. C'est
pourquoi la relativité galiléenne ne concerne que les référentiels
inertiels ; c'est uniquement dans ces référentiels
que les lois de la mécanique sont les mêmes. Pour que le principe
de relativité soit étendu à tous les systèmes
de référence (accélérés ou non), il
faudra attendre la relativité générale (1915). Mais
il faudra d'abord que soit construite la relativité restreinte (1905).
La relativité restreinte
Deux grands problèmes se posaient alors à la physique.
Quand Michelson et Morley en 1881 voulurent déterminer le mouvement
de la Terre par rapport à l'éther, substance immatérielle
supposée remplir l'espace, ils obtinrent un résultat étrange.
En mesurant la vitesse de la lumière se propageant parallèlement
et perpendiculairement au mouvement de la Terre sur son orbite, ils auraient
dû trouver deux résultats différents puisque la vitesse
d'une onde (ici la lumière) dépend de la vitesse du milieu
(ici l'éther) dans lequel elle se propage ou, ce qui revient au
même, de la vitesse de l'observateur par rapport au milieu considéré
comme immobile, comme c'était le cas pour l'éther. Or, quelle que soit la direction de propagation, la vitesse de la lumière fut la même. Ce résultat était absurde. Il remettait en cause le principe de l'additivité
des vitesses. Ce qui n'était pas sans faire écho à
une propriété de l'infini : l'infini plus n'importe
quelle quantité est toujours égal à l'infini. Ainsi
la vitesse de la lumière, bien que finie, avait les propriétés
d'une vitesse infinie.
L'autre problème
concernait les équations de Maxwell décrivant les ondes électromagnétiques,
dont la lumière : elles ne respectaient pas le principe
de la relativité galiléenne, c'est-à-dire qu'elles
n'étaient pas invariantes quand on les écrivait dans deux
référentiels inertiels. Cette opération mathématique
est assez facile à effectuer. Pour réécrire une équation
d'onde dans un référentiel (R') en mouvement
uniforme (vitesse v=constante) par rapport à un référentiel
(R), il suffit d'établir les coordonnées de
l'onde (x) en fonction de ses coordonnées
(x') dans le nouveau référentiel. Si l'on considère
que l'espace et le temps sont indépendants -- hypothèse que
la théorie de la relativité restreinte abandonnera -- on
obtient une relation du type : x=x'+vt (où t
représente le temps). On aboutit ainsi à une nouvelle équation
d'onde qui dépend des coordonnées de l'onde dans le référentiel
en mouvement et qui, si le principe de la relativité galiléenne
était respecté, aurait la même forme que celle de la
première équation. Ce n'était pourtant pas le cas.
C'est pourquoi Poincaré -- dont Laurent Nottale réhabilite
ici la contribution à la construction de la relativité restreinte
-- et Einstein pensèrent à lier l'espace et le temps de façon
à rendre les équations de l'électromagnétisme
invariantes dans ces changements de référentiels.
Cette transformation
de la structure de l'espace et du temps implique un phénomène
apparemment étrange : il existe une vitesse maximale
invariante. Cette dernière fut initialement identifiée à
la vitesse de la lumière, mais elle peut être la vitesse dans
le vide de n'importe quelle autre entité de masse nulle. Par ailleurs,
dans l'espace-temps ainsi défini, la notion de simultanéité
de deux événements ne peut plus être absolue
: si deux événements sont simultanés dans un
certain référentiel, ils ne le sont plus forcément
dans un autre (puisque le temps est lié à l'espace). Il en
résulte aussi qu'un objet se déplaçant devant nous
semble se raccourcir par rapport à la longueur qu'il a quand il
est au repos (contraction des longueurs). De même, un phénomène
temporel dure plus longtemps dans un référentiel où
il est en mouvement que dans son référentiel de repos (dilatation
du temps). Ces propriétés apparemment surprenantes, peuvent
être saisies intuitivement si l'on prend en compte qu'elles apparaissent
dans un espace à quatre dimensions (trois dimensions spatiales et
une dimension temporelle) : elles sont en effet analogues
à la propriété qu'a la longueur d'un objet, dans l'espace
qui nous est familier (trois dimensions spatiales ; le temps
étant indépendant), de nous paraître plus courte si
nous l'observons de biais ; ainsi la contraction des longueurs
et la dilatation des temps proviennent des « rotations
» de l'espace-temps.
Toutefois ces propriétés
n'apparaissent que si la vitesse des objets est « proche
» de la vitesse maximale. Quand la vitesse est «
très » inférieure à cette
vitesse maximale, on retrouve les propriétés de l'espace
classique à trois dimensions (la rotation dans l'espace-temps est
trop faible pour être apparente). C'est pourquoi nous n'avons pas
l'impression de vivre dans l'espace-temps de la relativité restreinte.
En revanche, dès qu'on étudie des objets se déplaçant
à très grande vitesse, comme en physique des particules,
on constate qu'ils se comportent de la façon prédite par
la nouvelle théorie.
On peut maintenant
revenir sur l'expérience de Michelson-Morley. Elle soulignait que le principe de l'additivité des vitesses ne s'appliquait pas à la lumière, ce qui voulait dire que sa vitesse, bien que finie, se comportait comme une vitesse infinie. Ce paradoxe vient, selon Laurent Nottale, du fait qu'on pense avec des concepts (par exemple,
la vitesse) propres à l'espace classique à trois dimensions
alors que nous sommes dans un espace-temps à quatre dimensions.
Il peut alors considérer que la finitude de la vitesse de la lumière
n'est qu'un effet de perspective, de la même façon que deux
droites parallèles, qui se croisent à l'infini, semblent
visuellement converger en un point à une distance finie. Si l'on
définissait pour la lumière dans l'espace à quatre
dimensions une « quadrivitesse »,
celle-ci serait effectivement infinie. La relativité restreinte,
qui se ramène finalement à l'existence de l'espace-temps,
permet donc d'expliquer le résultat de l'expérience de Michelson-Morley.
Avec l'extension du principe de relativité aux phénomènes
électromagnétiques, elle montrait ainsi toute sa richesse.
Le problème
est que, dans ce cadre de la relativité restreinte, les équations
qui faisaient intervenir la gravitation ne restaient plus invariantes quand
on les écrivait dans des référentiels inertiels différents.
Sans compter que les lois de la physique n'étaient toujours pas
invariantes dans des changements de référentiels accélérés.
Il fallut attendre quelques années pour qu'Einstein, avec la théorie
de la relativité générale, trouvât une structure
de l'espace-temps pour laquelle ces deux restrictions du principe de relativité
n'apparaissaient plus.
La relativité générale
Einstein partit
d'une expérience de pensée : si une personne
tombe en chute libre, elle ne sent plus son propre poids. C'est-à-dire
que l'accélération de la chute fait disparaître les
effets de la gravitation. Il en déduisit le principe d'équivalence,
suivant lequel la gravitation est localement équivalente à
une accélération. Ce principe souligne que la gravitation
n'existe pas en soi, mais dépend du choix du référentiel.
Si nous ressentons la gravitation sur Terre, ce n'est plus parce qu'une
force nous attirerait vers son centre, mais parce que nous sommes liés
à un référentiel particulier. Si nous étions
dans un référentiel en chute libre, nous ne sentirions effectivement
plus la gravitation.
Einstein en déduisit
qu'une personne, enfermée dans un vaisseau spatial en chute libre
et poussant un objet, voit ce dernier avancer en ligne droite (jusqu'à
ce qu'il rencontre une paroi) puisque les effets de la gravitation ont
disparu. Pour un observateur terrestre, qui reste soumis à la gravitation
et qui regarde le vaisseau tomber, la trajectoire de l'objet est en revanche
une courbe. Ainsi, une droite, dans un référentiel où
il n'y a pas de gravitation, est une courbe dans un référentiel
où la gravitation est présente. C'est-à-dire que la
gravitation et la courbure de l'espace peuvent être considérées
comme une seule et même chose.
C'est pourquoi Einstein
fit l'hypothèse que l'espace-temps n'était pas plat mais
courbe. Pour comprendre ce qu'est un espace courbe il faut se placer sur
la surface d'une sphère et imaginer que non seulement les êtres
humains mais tous les objets sont des êtres à deux dimensions
et qu'ils se propagent uniquement sur cette sphère ;
sauf que l'espace-temps courbe d'Einstein n'est pas « plongé
» dans un espace de dimension supérieure comme l'est
une sphère dans l'espace à trois dimensions, mais représente
la totalité de l'univers. Einstein pouvait ainsi voir les effets
de la gravitation comme la manifestation d'un changement de courbure de
l'espace-temps occasionné par la matière et l'énergie.
Le mouvement d'une particule soumise à la gravitation se ramenait
au mouvement d'une particule non accélérée dans l'espace-temps
courbe. Il devenait alors possible de montrer que les lois de la nature
étaient les mêmes dans tous les systèmes de référence,
quel que soit leur mouvement. Les deux limitations de ce principe, relatives
à la gravitation et aux référentiels accélérés,
étaient donc éliminées ensemble.
La relativité d'échelle
Est-il envisageable
de généraliser encore le principe de relativité
? C'est-à-dire, peut-on trouver une théorie physique
valable pour toutes les échelles ? Cela n'a rien d'évident
quand on pense que les lois de la microphysique (la mécanique quantique)
sont actuellement différentes de celles de la physique macroscopique.
Mais justement, Laurent Nottale pense qu'il est possible de montrer que
les différences observées ne proviennent pas de lois différentes,
mais traduisent le fait que les mêmes lois se manifestent différemment
à des échelles différentes.
Pour saisir intuitivement
l'idée qui sous-tend cette nouvelle approche, il faut prendre conscience
que certaines grandeurs physiques changent de valeur suivant l'échelle
à laquelle on les mesure. Un exemple célèbre est la
longueur de la côte bretonne, qui dépend de l'échelle
de la carte à partir de laquelle on veut la déterminer. Plus
la carte donne accès à des petits détails, plus il
apparaît de golfes, criques et autres renfoncements qui augmentent
cette longueur. Les objets tels que la côte bretonne sont appelés
« fractals ». On peut les définir
comme des objets qui n'ont aucune portion de surface « lisse
». Le mathématicien dit qu'on ne peut pas tracer de
tangente à leur contour, ou que ce dernier n'est pas différentiable.
Par ailleurs, un
objet non fractal à grande échelle peut le devenir à
petite échelle. Le périmètre d'une feuille de papier,
par exemple, ne semble pas dépendre de la résolution avec
laquelle on effectue nos mesures. En passant du centimètre au millimètre
on obtient seulement une valeur de plus en plus précise. Pourtant,
à partir d'une certaine échelle, plus on augmente la résolution,
plus les irrégularités de la feuille apparaissent. Le périmètre
se met donc à augmenter avec la diminution de l'échelle de
résolution. Ce phénomène de transition non-fractal/fractal
donne une illustration de ce que peut être la transition physique
classique/physique quantique.
C'est pourquoi l'idée
de Laurent Nottale consiste à supposer non pas que tel ou tel objet
soit fractal mais que la structure de l'espace-temps courbe soit elle-même
fractale. Ce n'est pas une hypothèse ad hoc. Cela consiste
au contraire à éliminer l'hypothèse simplificatrice
de différentiabilité de l'espace-temps courbe. Il n'en demeure
pas moins que l'on peut encore utiliser cette hypothèse dans une
grande partie de la physique, de la même façon que l'on considère
que le pourtour d'une feuille est différentiable (sans rugosité)
pour calculer son périmètre. Mais dès que l'on s'intéresse
aux petites échelles de l'univers quantique, Laurent Nottale montre
que l'on peut, en éliminant cette hypothèse de différentiabilité,
retrouver les lois de la physique quantique -- du moins une partie d'entre
elles pour l'instant -- en partant des propriétés de l'espace-temps
fractal. Il semble ainsi que l'on puisse appliquer de façon plus
générale que ne l'avait fait Einstein le principe de relativité.
En tout cas, cette
unification de la physique quantique et de la physique macroscopique, dans
le cadre d'un espace-temps courbe fractal, s'accompagne d'un bouleversement
de nos approches de l'univers dans l'infiniment petit et dans l'infiniment
grand. On a vu précédemment que, dans la cadre de la relativité
restreinte, l'exigence d'invariance des lois de la physique par changement
de référentiels inertiels entraînait la construction
d'un espace-temps où il existait une vitesse maximale finie qui
avait les propriétés de l'infini. Or, exiger une invariance
par changement d'échelle dans la nouvelle théorie fait jouer
à la résolution un rôle analogue à celui que
la vitesse jouait dans la relativité restreinte. Sauf qu'ici on
en déduit l'existence à la fois d'une échelle maximale
et d'une échelle minimale. La première se comporte comme
si elle avait une valeur « infinie »
et la seconde la valeur « zéro »
(si on divise ou multiplie une de ces échelles par un nombre quelconque
on obtient la même échelle). Il ne faut pas voir ces échelles
comme des barrières infranchissables mais plutôt comme des
horizons inaccessibles. Ainsi l'espace reste indéfiniment divisible,
mais le résultat des divisions est limité :
on obtient toujours une longueur supérieure à l'échelle
minimale. Il n'y donc plus de sens à parler d'une longueur plus
petite que l'échelle minimale. De même, si on observe l'univers
à très grande échelle -- univers dont les cosmologistes
ne peuvent dire à ce jour s'il est infini ou fini --, on verra une
sphère limite autour de soi, qui sera toutefois inaccessible si
l'on voulait se déplacer pour l'atteindre. Ainsi, de notre point
de vue, tout se passe donc comme si l'univers était sans fin bien
qu'il nous paraisse fini, et cela indépendamment du fait qu'il puisse
être réellement fini ou infini.
La modification
de notre approche de l'univers concerne aussi l'aspect temporel. À
l'échelle minimale on peut en effet associer une durée minimale
(le temps et l'espace étant liés) qui représente aussi
un horizon temporel inaccessible et qui, bien que différente de
zéro, se comporte comme si elle avait cette valeur (si on divise
cette durée par un nombre quelconque on obtient la même durée).
Il n'est donc plus possible de considérer une durée inférieure
à cette durée minimale comme il n'était pas possible
d'aller plus vite que la lumière. Il s'ensuit qu'il n'y a plus de
sens à parler des premiers instants de l'univers pour un temps inférieur
à cette durée minimale. Et puisqu'en remontant le temps,
on n'atteint jamais cet « horizon »,
on peut dire que tout se passe comme si l'univers n'avait pas d'origine
dans le temps bien qu'il ait un âge fini.
Voilà esquissées
sommairement quelques idées relatives à cette extension du
principe de relativité à la notion d'échelle, avec
laquelle Laurent Nottale tente à sa façon de ramener la diversité
des phénomènes à un ensemble unique de lois. Cette
tentative ambitieuse sera-t-elle couronnée de succès
? En tout cas, quelle que soit la réponse, ce livre mérite
d'être lu. En effet, Laurent Nottale ne se contente pas d'y exposer
sa théorie avec bien sûr plus de détails que nous ne
l'avons fait, il s'efforce de l'inscrire dans une perspective historique
où chaque changement conceptuel est analysé avec pertinence.
C'est donc aussi une belle réflexion sur l'évolution de l'idée
de relativité en physique. De plus, pour ne pas déroger à
l'exigence de réfutabilité, Laurent Nottale propose un certain
nombre de résultats théoriques, concernant aussi bien la
physique des particules que la cosmologie, susceptibles d'être confirmés
ou infirmés par des expériences en cours ou à venir.
C'est donc un travail de vulgarisation accompli dont le versant «
recherche » est à suivre de près...
Thomas LEPELTIER,
le 28 avril 1999.
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Sommaire
Avant-propos
Première partie : Les théories de la
relativité du mouvement
I. Le précurseur : Copernic et l'héliocentrisme
II. Le découvreur : Galilée
et les lois de l'inertie
III. Newton : Gravitation universelle et
espace absolu
IV. La relativité restreinte
V. La relativité généralisée
d'Einstein
Deuxième partie : Le principe de relativité
VI. Sens du principe de relativité
VII. Vers une nouvelle extension de la relativité
Troisième partie : La mécanique quantique
VIII. Principaux axiomes de la mécanique quantique
IX. Le paradoxe des propriétés quantiques
X. Einstein et la théorie quantique
Quatrième partie : Relativité d'échelle,
espace-temps fractal et mécanique quantique
XI. Les échelles dans la nature
XII. La notion de point et d'instant en physique
XIII. La géométrie fractale
XIV. Le « chaînon manquant
» en théorie quantique
XV. La relativité d'échelle
XVI. Relativité d'échelle restreinte
XVIII. Relativité d'échelle et théorie
quantique
Cinquième partie : Des particules élémentaires
aux grandes structures de l'Univers
XVIII. Physique des particules
XIX. Cosmologie
XX. Formation et évolution de structures
Conclusion
Glossaire
320 pages
ISBN 23.5278.998.X
130 FF (1999)
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